FUNCIÓN

Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama “x” e “y”.
• “x” es la variable independiente.
• “y” es la variable dependiente (depende de la “x”).

La función, que se suele denominar y = f(x), asocia a cada valor de x un único valor de y.

Para visualizar el comportamiento de una función, recurrimos a su representación gráfica: sobre unos ejes cartesianos, con sendas escalas, representamos las dos variables:
• La x sobre el eje horizontal o eje de abscisas.
• La y sobre el eje vertical o eje de ordenadas.

Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa, x, y su ordenada, y.

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FUNCIÓN NO FUNCIÓN

DOMINIO Y RECORRIDO

Se llama dominio de definición de una función, f, y se designa por Dom f o D(f), al conjunto de valores de x para los cuales existe la función.

Se llama recorrido de f y se designa Rec(f) o R(f), al conjunto de valores que toma la función. Es decir, al conjunto de valores de y para los cuando hay un x tal que f(x) = y

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Dominio: D(f) = R

Recorrido R(f) = [-1,1]

Dominio: D(f) = [0,oo)

Recorrido: R(f) = [0,oo)

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ABSCISAS, OX

Como el eje de abscisas, tiene de ecuación y = 0, los puntos serán de la forma (xo,0)

PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ORDENADAS, OY

Como el eje de ordenadas, tiene de ecuación x = 0, los puntos serán de la forma (0,yo).

PERIODICIDAD

Función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama periodo.

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SIMETRIA

Una función es par ó simétrica respecto del eje OY si f(x) = f(-x)

Una función es impar ó simétrica respecto del origen O si f(x) = - f(-x).

Una función que no es par ni impar se dice que es no simétrica.

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TENDENCIA Y ASÍNTOTAS

Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara. Estas ramas reciben el nombre de asíntotas.
Existen tres tipo de asíntotas:
• Asíntotas verticales: x = a
• Asíntotas horizontales: y = b
• Asíntotas oblicuas: y = mx + n

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Asíntotas

CONTINUIDAD

IDEA INTUITIVA

La idea de función continua es la de que puede ser representada con un solo trazo.
Una función que no es continua presenta alguna discontinuidad.

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD

Una función se llama continua cuando no presenta discontinuidades de ningún tipo. Una función puede ser continua en un intervalo si solo presenta discontinuidades fuera de él.
Las funciones con expresiones analíticas elementales son continuas en sus dominios.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

Varias razones por las que una función puede ser discontinua en un punto:
• Tiene ramas infinitas en ese punto. Es decir, los valores de la función crecen o decrecen indefinidamente cuando la x se acerca al punto. Se dice que presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito en ese punto.
• Presenta un salto. Se dice que presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en ese punto.
• No está definida (le falta un punto) ó el punto que parece que le falta lo tiene desplazado. Se dice que presenta una discontinuidad evitable en ese punto.

Continua

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Discontinuidad de salto infinito

Discontinuidad inevitable de salto finito

Discontinuidad evitable
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MONOTONÍA

Una función es creciente cuando al aumentar la x aumenta la y.
Una función es decreciente cuando al aumentar la x disminuye la y.

 

Creciente Decreciente Constante
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Ejemplos:

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MÁXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS

Una función presenta un máximo absoluto en un punto cuando es el valor más alto de su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio.
Una función presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el valor más bajo de su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio.

Una función presenta un máximo relativo en un punto cuando en dicho punto la función pasa de creciente a decreciente. Este punto debe de ser del dominio.
Una función presenta un mínimo relativo en un punto cuando en dicho punto la función pasa de decreciente a creciente. Este punto debe de ser del dominio.

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TASA DE VARIACIÓN MEDIA (T.V.M)

Para medir la variación (aumento o disminución) de una función en un intervalo se utiliza la tasa de variación media.

Se llama tasa de variación media de una función f en el intervalo [a,b] al cociente entre la variación de la función y la longitud del intervalo.

T.V.M de f en [a,b] =


La T.V.M. de f en [a,b] es la pendiente del segmento AB.

CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

CURVATURA
Una función es cóncava cuando presenta la siguiente forma: ?
Una función es convexa cuando presenta la siguiente forma: ?

PUNTOS DE INFLEXIÓN
Puntos (del dominio) donde la función cambia de curvatura, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava.

Cóncava Convexa Puntos de inflexión

Concava (-1,2)

Convexa (-oo,-1) U (2,+oo)

Puntos de inflexión (-1,0) y (2,0)